Fonctions quadratiques - Apprendre avec Serlo!

Une fonction quadratique est un polynôme du second degré, c'est-à-dire une fonction de forme :

\displaystyle ﻿f(x)=ax^2+bx+c \text{ avec }a≠0\ a=0﻿

Graphe

Le graphe d'une fonction quadratique est toujours une parabole.

Zéros

Les fonctions quadratiques sont des polynômes du second degré et ont donc au maximum deux zéros réels.

Le nombre de zéros est donné par le discriminant $D = b 2 - 4 a c$ de la fonction :

Pas de zéros:

\displaystyle D < 0

Un double zéro:

\displaystyle D = 0

Deux simples zéros:

\displaystyle D > 0

Pour déterminer la position des zéros, vous devez résoudre une équation quadratique, par exemple en utilisant la forme canonique.

Vertex

Le sommet d'une parabole est son extrémité. Elle se situe toujours à $x=-\frac{b}{2a}.$

Vous obtenez le sommet d'une parabole soit par complétion du carré, soit, comme pour toutes les fonctions, par la dérivée première.

Si vous insérez à nouveau la valeur x dans l'équation de la fonction quadratique, vous obtenez le sommet, qui a alors les coordonnées :

\displaystyle S=(-\frac b{2⋅a} | c-\frac{b^2}{4⋅a})

Les formes de représentation d'une fonction quadratique

Le terme de fonction d'une fonction quadratique peut - si nécessaire après transformation ou combinaison - être représenté comme:

forme générale: $f (x) = a x^{2} + b x + c$
forme standard: $f (x) = a (x - d)^{2} + e$
Forme zéro / forme à facteur linéaire (seulement possible si f a des zéros): $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Signification des coefficients d'une fonction quadratique

Une fonction quadratique a en général une équation de la forme $f (x) = a x^{2} + b x + c$

Les coefficients a, b et c déforment et/ou déplacent la parabole. L'influence exacte qu'ils ont sur la forme du graphique, cependant, ne peut être vue qu'à partir de la forme standard.